Open Library — открытая библиотека учебной информации

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Математика Системы линейных уравнений

Рассмотрим три базовых метода решения систем линœейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителœем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определœенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределœенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.

Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.

Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:

∆ = = 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.

Построим определитель∆₁ заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:

∆₁ = = 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0, тогда переменная х находится по формуле х== = 0.

Найдем ∆₂ заменой 2-го столбца на столбец правых частей:

∆₂== 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,

тогда переменная y находится по формуле y = = 1.

Найдем ∆₃ заменой 3-го столбца на столбец правых частей:

тогда переменная z находится по формуле z= = –1.

Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1)

Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.

Построим по данной системе расширенную матрицу системы .

Её крайне важно с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду . Ниже главной диагонали должны быть нули.

Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:

§ можно менять местами строки;

§ умножать строку на ненулевое число;

§ складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;

§ вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.

В случае если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:

Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:

Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем . Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.

Построим теперь по ней систему уравнений: .

Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).

1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).

Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.

1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.

1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:

1.1.5. Построение моделœей задач, сводящихся к системам линœейных уравнений

Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?

Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:

Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.

1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.

1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?

2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?

3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета͵ за 2 горлицы – 1 монета͵ за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?

4) Торговец скотом купил неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ количество лошадей по 344 доллара и неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что всœе лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?

5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всœех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?

6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?

7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?

8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:

–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?

1.1.6. Применение элементов линœейной алгебры в экономике

Математические модели некоторых экономических задач бывают записаны в виде систем линœейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линœейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].

1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок ; при этом используется сырье трёх типов: S₁ , S₂ , S₃ . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150 . Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.

Найти план перевозок меха.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x₁, x₂… x_n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему — означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Решение СЛУ методом Гаусса в Excel:

В тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: <=A1:B3+$C$2:$C$3>и т.п., это так-называемые «формулы массива». Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( < >). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше – =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Пускай имеем систему линейных уравнений:

1. Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.

2. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: <=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)>. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x1 во всех уравнениях кроме первого.

4. Теперь приведем коэффициенты перед x2 в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу <=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)>, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

5. Осталось привести коэффициент при x3 в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу <=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)>. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x4. Для этого в строку 24 введем формулу <=A19:E19/D19>.

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:

23: <=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18>– отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x4 третьей строки.

22: <=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17>– от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

21: <=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16>– от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Приведение матрицы к ступенчатому виду: пошаговое решение в Wolfram|Alpha

Приведение матрицы к ступенчатому виду — промежуточный этап при решении систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, других задач линейной алгебры. Приведение матрицы к ступенчатому виду также называют преобразованием Гаусса-Жордана.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду "вручную" к строкам матрицы применяются элементарные преобразования: строки матрицы можно менять местами, умножать или делить на ненулевое число, складывать и вычитать. В Wolfram|Alpha для приведения матрицы к ступенчатому виду служит запрос row reduce, например:

Чтобы получить пошаговое решение Вы должны заранее зарегистрироваться в Wolfram|Alpha и войти в свой аккаунт.

Разложение (декомпозиция) матриц в Wolfram|Alpha

Разложение (декомпозиция) матриц - задача, которая может возникать, как промежуточный этап в процессе решения систем линейных уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, при отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисления аналитических функций от матриц, при использовании метода наименьших квадратов, численном решении дифференциальных уравнений.  При этом, в зависимости от решаемой задачи, используются различные виды разложения (декомпозиции) матриц.

Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.

В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.

LU-разложение (декомпозиция) матрицы — это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L — нижняя треугольная матрица, а U — верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это — одна из разновидностей метода Гаусса.

Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P — перестановочная матрица, L — нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение — это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.

Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Это одна из самых известных и простейших задач теории вероятностей, которая в Wolfram|Alpha решается довольно просто.

Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:

Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.

Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.

Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.

Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения.

Например, чтобы найти вероятность попадания непрерывной случайной величины X, которая имеет нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2 в интервал (-1.2; 2.3) используется такой запрос:

Как видите, здесь Wolfram|Alpha не только выводит числовой результат — значение искомой вероятности, равное 0,606488, но также и его графическую интерпретацию: на графике плотности нормального распределения обозначена фигура (криволинейная трапеция), площадь которой равна искомой вероятности 0,606488. Это соответствует известной формуле:

где f(x) — плотность вероятности нормального распределения (pdf NormalDistribution[mean, sd]). Иначе говоря, для непрерывных случайных величин тот же самый результат можно было бы получить путем интегрирования.

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

4. Прибавим к третьей строке вторую.

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

8. Ей соответствует система уравнений:

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.