Нахождение обратной матрицы и решение СЛАУ в электронных таблицах (Excel, LO Calc)

Далеко не все знают, что у программы, создатель которой хочет за нее немало денежек — MS Excel — есть достойный конкурент — открытая свободная программа LibreOffice Calc (ранее называлась OpenOffice.org Calc, она и сейчас есть, но от компании Sun она перешла в свое время к Oracle, а тот не захотел развивать свободное ПО и передал ее фонду Apache, где фактически ее развитие и остановилось). Многие действия, совершаемые с формулами в Excel могут быть аналогичным образом проделаны в LO Calc. Не стали исключением и системы алгебраических уравнений.

Принято считать, что для решения уравнений, а тем более системы уравнений нужно использовать специализированное математическое ПО. Такие приложения имеют свои преимущества, но большинство матричных уравнений можно решить в электронных таблицах, которые установлены у основной массы пользователей.

Решение математических задач в Excel

Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

Делаем таблицу со значениями матрицы А.
Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.

Поиск решения — это надстройка Microsoft Excel, с помощью которой можно найти оптимальное решение задачи с учетом заданных пользователем ограничений.

Читайте так же:

Где хранятся вкладки яндекс браузер

Поиск решения будем рассматривать в (эта надстройка претерпела некоторые изменения по сравнению с предыдущей версией в .
В этой статье рассмотрим:

создание оптимизационной модели на листе MS EXCEL
настройку Поиска решения;
простой пример (линейная модель).

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Данная методика актуальна для поиска ответа на задачи, которые содержат системы линейных уравнений. Метод Крамера позволяет найти решение систем с числом строк, равных количеству неизвестных. Таким образом, решают квадратные системы уравнений. В процессе необходимо вычислить определители матрицы, включая основные и дополнительные, которые получены с помощью замещения одного из столбца главного определителя на столбец, состоящий из свободных членов системы алгебраических уравнений. Наглядно ознакомиться с алгоритмом можно на примере задачи.

Требуется решить с помощью метода Крамера СЛАУ:

Определим неизвестные (beginx_1\x_2\x_3 end) Порядок действий простой. Необходимо составить из системы матрицу:

А также следует записать столбец, состоящий из свободных членов:

Затем нужно рассчитать главный определитель матрицы:

Читайте так же:

Как включить семейный режим в яндекс браузере

Кроме того, требуется записать дополнительные определители (Delta_i)

Дополнительные определители получают на основе главного определителя с помощью замены столбцов по очереди на столбец, в котором записаны свободные члены:

Бывает, что при расчетах получается (Delta = 0) . В таком случае метод Крамера не применим для решения системы.

По итогам расчетов с помощью формулы Крамера можно сделать вывод неизвестных для системы линейных уравнений, что является ответом к задаче:

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Читайте так же:

Запрет на изменение ячеек excel

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

голоса

Рейтинг статьи

Нахождение обратной матрицы и решение СЛАУ в электронных таблицах (Excel, LO Calc)