Метод левых прямоугольников в excel

Метод левых прямоугольников в excel

Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину частичного отрезка . Тогда значение интеграла на частичном отрезке:

(2.6)

Подставив это выражение в (2.4), получим составную формулу средних прямоугольников:

(2.7)

Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.2.2(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.

Формулу (2.7) можно представить в ином виде:

или (2.8)

Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис.2.2(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников.

а) средние прямоугольники	б) левые прямоугольники	в) правые прямоугольники
Рис.2.2. Интегрирование методом прямоугольников

2.2.2. Метод трапеций

Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:

(2.9)

то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:

(2.10)

Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования примет вид:

(2.11)

Графически метод трапеций представлен на рис.2.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10.

Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.

Рис.2.3. Интегрирование методом методом трапеций

2.2.3. Метод Симпсона

В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки , , , то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.12)

Проведя интегрирование, получим:

(2.13)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке формула Симпсона примет вид:

(2.14)

Если разбить отрезок интегрирования на четное количество 2N равных частей с шагом , то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке и переписать выражения (2.12-2.14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:

(2.15)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис.2.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.

Рис.2.4. Метод Симпсона

2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса

Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона. Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами Ньютона-Котеса.

В выражении коэффициенты правильнее называть весовыми коэффициентами. Величину , определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком.

Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:

(2.16)

где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков, , , .

Из выражения (2.16) легко можно получить формулу прямоугольников для , формулу трапеций для , и формулу Симпсона для . Коэффициенты могут быть заданы в табличной форме (таблица.2.1).

Интегрирование MATLAB

Программа MATLAB может производить вычисление определенных и неопределенных интегралов.

Ниже представлен неопределенный интеграл:

Как и в случае с командой diff, вы можете объявить переменную х символьной, и поместить ее внутри кавычек в строке символов. Обратите внимание, что программа MATLAB не включает в себя константу интегрирования; результат вывода представляет единственную антипроизводную от подынтегрального выражения.

Ниже представлен определенный интеграл:

Вы, несомненно, знаете, что не каждая функция, отображаемая при исчислении, может быть символически интегрирована, иногда бывает необходимо числовое интегрирование. Программа MATLAB имеет две команды для числового интегрирования функции f (x): quad и quadl. Мы рекомендуем применять команду quadl.

Команды quad и quadl не будут принимать Inf или -Inf в качестве границ интегрирования (хотя int будет). Лучший способ оперировать числовым неточным интегралом на бесконечном интервале — это вычислить его на интервалах возрастающей длины, пока результат не стабилизируется.

Существует и другая возможность. Если вы введете double (hardintegral), программа MATLAB использует модуль Symbolic Math Toolbox (Инструментарий символьной математики), чтобы вычислить интеграл, даже в бесконечном диапазоне.

Программа MATLAB может также работать с несколькими интегралами. Показанная ниже команда вычисляет двойной интеграл

Обратите внимание, что программа MATLAB допускает, что переменная интегрирования в int есть х, если только вы не установили иначе. Заметьте также, что порядок интегрирования такой, как в исчислении, «наизнанку». И наконец, мы можем использовать команду вычисления двойного интеграла dblquad, со свойствами и методами применения которой вы можете познакомиться в онлайновой справке.

Эта статья из раздела-взаимодействие с программой matlab, которая посвящена теме-интегрирование matlab. Надеюсь вы по достоинству оцените ее!

Поэтому из выше всего сказанного можно сделать вывод, что вам необходимо просмотреть много дополнительной информации и альтернатив!

Целью данной курсовой работы является изучение приёмов численного и символьного интегрирования на базе математического пакета прикладных программ, а также реализация математической модели, основанной на методе интегрирования.

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В MATLAB

Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции F и обозначается

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

, это формула Ньютона-Лейбница.

интегральная сумма σk=f(εi) Δxi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е Δxi=A(2). Где Δхi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔxi – начало разбиения произвольная точка из отрезка [xi-1;xi]
сумма всех произведений f(εi)Δxi, (i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл

численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, .

Рассмотрим основные методы интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл:

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0, x1, x2,…, xn=b на n равных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y0, y1 ,y2,…, yn-1, yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…, xn, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид.

Составим суммы: y0Δx+ y1Δx1+ y2Δx2…+yn-1Δx; Y1Δx+ y2Δx+…+ynΔx.

В результате вычислений получаем конечную формулу прямоугольников:

Возьмём определённый интеграл

, где — непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xk разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Площадь крайней полоски слева равна произведению полусуммы основания на высоту

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

– это и есть формула трапеций.

Формула Симпсона (формула парабол).

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криво

1.5 Метод Монте-Карло

Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого можно легко вычислить;

«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек ( штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

определим число точек ( штук), которые попадут под график функции;

площадь области, ограниченной функцией и осями координат, даётся выражением ; (10)

Этот алгоритм требует определения экстремумов функции на интервале и не использует вычисленное точное значение функции кроме как в сравнении, вследствие чего непригоден для практики. Приведённые в основной статье варианты метода Монте-Карло избавлены от этих недостатков.

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.